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“氢弹之父”乌拉姆：我的朋友冯·诺伊曼 | 纪念冯·诺伊曼诞辰120周年（上）
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2023年12月28日是匈牙利裔数学家、物理学家、计算机科学家、工程师约翰·冯·诺伊曼120周年诞辰。他的传奇一生做过太多贡献，甚至只把他的重要工作罗列并简要解释都是一般专业人士力所不及的。在冯·诺伊曼去世时，《美国数学学会公报》（Bulletin of the American Mathematical Society）推出了一期纪念专辑，其中著名数学家、“氢弹之父”乌拉姆撰写了长篇文章，按时间顺序介绍冯·诺伊曼生平和工作。我们将其全文翻译（分两篇推送），或许从乌拉姆的讲述中我们可以了解到冯·诺伊曼为何能做出如此之多贡献的原因。谨以此文以纪念这位伟大的全才型学者。
1957年2月8日，约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）逝世。数学界失去了最具独创性、最有洞察力、最多才多艺的头脑；科学界则失去了一个盖世全才，也失去了一位独特的数学诠释者。他能带来最新的（并开发潜在的）方法，将其应用于物理学、天文学、生物学和新技术。许多杰出人物已经讲述并赞扬了他的贡献。这篇文章的目的是，以我们相识并持续了25年的友谊为背景，简要介绍他的生活和工作。（编者注：文中介绍的论文编号为作者整理附录列表的编号，我们以注释方式列在文后。）
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简要生平
在第一次世界大战前后的二十年里，布达佩斯被证明是孕育科学人才的超级沃土。为何这里能催生出如此众多的杰出人才，这要留给科学史家去发现和解释了（他们的名字在当今的数学和物理学年鉴上比比皆是；编者注：参见《这个不起眼的小国，走出了科学史上最杰出的一群人》）。约翰尼可能是这群科学家中最耀眼的明星。当被问及是什么导致了这种统计学上不太可能出现的现象时，他会说，这是一些他无法精确解释的文化因素的巧合：中欧地区整个社会所承受的外部压力，个人潜意识中的极度不安全感，以及必须产生不寻常的东西，否则会面临灭亡的必要性。第一次世界大战打破了原有的经济和社会模式。布达佩斯，曾经是奥匈帝国的第二首都，现在是一个小国的主要城市。对许多科学家来说，他们不得不移民，到其他不那么受限制和偏远的地方谋生。
据他的同学费尔纳（Fellner）说1，约翰尼与众不同的能力引起了一位早期教师拉斯洛·拉兹（László Rátz）的注意。他向约翰尼的父亲表示，在学校按传统的方式教约翰尼数学是毫无意义的，他应该接受数学私人辅导。于是，在库尔沙克（József Kürschak）教授的指导下，由当时还是布达佩斯大学助教的费柯特（Michael Fekete）进行辅导，约翰尼学习了各种数学问题。
在1921年通过“matura”考试时（译者注：欧洲许多国家的中学毕业考试，并以此获大学入学资格），约翰尼已经是公认的专业数学家了。他的第一篇论文是与费柯特合作的，完成时还不到18岁。在接下来的四年里，约翰尼注册为布达佩斯大学数学专业学生，但大部分时间他是在瑞士的苏黎世联邦理工学院和柏林度过的，并在苏黎世联邦理工学院获得了“化学工程师”（Diplomingenieur in Chemie）的本科学位。
在每学期末尾，他要为了通过课程考试回到布达佩斯大学 (不参加听课，这样做多少有点不合规则)。他在布达佩斯获得数学博士学位的同时，也在苏黎世获得了化学学位。在苏黎世期间，他把大量业余时间花在数学问题上，写文章并和数学家们通信。当时外尔（Hermann Weyl）和波利亚（George Pólya）都在苏黎世，约翰尼与他们有过联系。有一次，外尔短暂离开苏黎世，在此期间，约翰尼替他上课。
值得注意的是，总的来说，少年天才做出原创数学工作在欧洲并不少见。与美国相比，在专业教育方面似乎至少有两三年的差距，这可能是由于美国在高中和大学之间实行了更密集的教育体系（预科）。然而，即使在神童中，约翰尼也是出类拔萃的。他在学生时代就开始了自己的原创性工作。1927年，他成为柏林大学的私俸讲师（Privatdozent），以此身份工作了近3年。在那段时间里，由于在集合论、代数和量子理论方面发表的论文，全世界的数学家都知道了他。我记得在1927年，当他来到利沃夫（Lwów，当时属于波兰）参加一个数学家大会时，他在数学基础和集合论方面的工作已经很有名气了。我们这群学生把他的成果当作年轻天才工作的范例。
1929年，他来到汉堡大学，还是做私俸讲师。1930年，他第一次来到美国，在普林斯顿大学任客座讲师。我记得约翰尼告诉我，即使德国大学现有和未来的空缺职位寥寥无几，但还有四十或六十个讲师都渴望能在不久的将来当上教授。约翰尼用他典型的理性方法计算了“三年内”预期的教授任命数量是3，而（候选）讲师有40个！他还感到即将到来的政治事件将使智力工作变得非常困难。
1930年，他接受了普林斯顿大学的客座教授职位，在一学年的部分时间里讲学，然后在夏天回到欧洲。他于1931年成为普林斯顿大学的常任教授。1933年，他被邀请作为教授加入普林斯顿高等研究院（IAS），是研究院最年轻的终身成员。
约翰尼于1930年与玛丽埃塔·科维西（Marietta Kovesi）结婚。他们的女儿马瑞娜（Marina）1935年出生于普林斯顿。在研究院成立的最初几年里，来自欧洲的访问学者会发现这里极为随意，但科学氛围异常浓厚。研究院的教授们的办公室设在Fine Hall（普林斯顿大学的一部分），研究院和学校的各个院系中名人云集，无论在何时，这里都很可能是数学和物理领域人才最集中的地方之一。
应约翰尼的邀请，我在1935年底第一次来到美国。维布伦教授（Oswald Veblen）和他的妻子安排了令人愉快的社交活动，我发现冯·诺伊曼【和亚历山大（James Waddell Alexander）】的房子几乎成了各种聚会的根据地。那是经济萧条的年代，但是研究院设法让相当数量的本地和来访数学家过上相对无忧无虑的生活。
约翰尼的第一次婚姻以离婚告终。1938年夏天，他在布达佩斯的旅行中再婚，并把第二任妻子克拉拉·丹（Klára Dan）带回了普林斯顿。他的家仍然是科学家们聚会的地方。他的朋友们都会记得他盛情款待，以及那里充满智慧与风趣的氛围。克拉拉后来成为第一批为电子计算机编写数学问题的程序员之一，这门艺术的一些早期技巧正是她创造的。
随着欧洲战争的开始，约翰尼在研究所以外的活动开始成倍增加。本文末尾列出了他的职位、组织成员资格等（编者注：将于下篇推出），仅仅从这个列表就可以让我们了解约翰尼为政府内外的各种科学项目所做的大量工作。
1954年10月，他被总统任命为美国原子能委员会成员。他请假离开了普林斯顿大学，并终止了除洲际弹道导弹委员会（ICBM Committee）主席之外的所有职务。（原子能）委员会主席，也是约翰尼多年的朋友，海军上将施特劳斯（Lewis Strauss）发现委员会有空缺后立即建议提名约翰尼。关于约翰尼在委员会的短暂服役，他写道：
“在他获得任命之日到1955年深秋之间的这段时间里，约翰尼发挥了巨大的作用。他拥有极其宝贵的能力，能够把最困难的问题拆分成几个部分，于是一切变得非常简单。而所有人都在想为什么我们不能像他那样清楚地看到答案。通过这种方式，他极大地促进了原子能委员会的工作。”
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朋友心中的冯·诺伊曼
在约翰尼朋友的记忆中，他总是以特有的姿势站在黑板前或在家里讨论问题。不知何故，他的手势、微笑和目光所触总是能反映其思想，或者所讨论问题的本质。他中等身材，年轻时相当苗条，后来变得越来越胖了；他走路时步幅很小，速度从来都不是很快，但加速度却相当随机。每当一个问题表现出逻辑或数学悖论的特征时，他的脸上就会闪过微笑。除了喜好抽象的智慧，他还非常欣赏（甚至可以说是饥渴）更接地气的喜剧和幽默。
他的头脑似乎汇集了多种能力，它们即使不是相互矛盾的，可能至少是独立的——每种能力都需要强大的专注力和记忆力，以至于极少出现在同一个人身上。这些能力是：集合论方式的，形式上基于代数形式的数学思想的感觉；对古典数学分析和几何方面本质内容的认识和理解；以及对现代数学方法在理论物理现有问题和新问题方面的潜在应用的敏锐感知。所有这一切都可以通过他杰出的原创性工作得到具体的证明，这些成就涵盖了当代科学思想非常广泛的领域。
他与朋友们就科学问题的对话可能持续数小时，他从来都不缺话题，即使不是数学主题。
约翰尼对人有浓厚的兴趣，喜欢八卦。人们常常会觉得，他正凭自己的记忆收集人类的各种特性，仿佛在准备一项统计研究。他也关注时间流逝带来的变化。他年轻时曾多次向我提到，他认为在大约26岁之后，创造性的数学能力会下降，但因经验积累而发展出的某种更平淡无奇的阅历和机智能够弥补这种逐渐丧失的能力，至少在一段时间内是如此。后来，他把这一限制年龄逐渐提高了。
他偶尔会在谈话中对其他科学家进行评价，总的来说，他的看法相当宽容，但也经常明褒暗贬。其实他表达的判断非常谨慎，他不愿意对其他人发表任何最终意见：“让拉达曼迪斯（Rhadamanthys）和米诺斯（Minos；译者注：他们是希腊神话中冥界的审判官）……判断……”有一次他被问及此事，他说他认为埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）和外尔是对他影响很大的数学家，特别是在他早期工作的技术方面。
约翰尼被许多人视为优秀的委员会主席（这是一项特殊的现代活动）。他会极力强调自己的技术观点，而在个人或组织事务上很容易顺从。
尽管他拥有强大的能力，也对这些能力有充分意识，但他缺乏一定的自信。约翰尼非常钦佩几位数学家和物理学家，认为他们拥有自己无法达到的最高程度的品质。我认为令他有这种感觉的品质是，对新真理的直觉，一种相对简单的思维能力；或者是一种天赋——对新定理的陈述或证明的看似不合理的洞察。
他非常清楚，数学工作的价值标准在某种程度上是纯粹审美的。他曾表达过这样的担忧：在我们现在的文明中，抽象的科学成就的价值可能会减弱，“人类的利益可能会改变，目前对科学的好奇可能会停止，未来人类的思维可能会完全不同。”有一次谈话的中心是不断加速的技术进步和人类生活方式的变化，这让人觉得我们似乎正在接近一些人类历史的基本奇点，超过了奇点，我们所知道的人类事务就无法继续下去。
约翰尼的朋友们喜欢他绝妙的幽默感。在科学同行中，他可以用数学家的表达方式，对历史或社会现象做出具有启发性（通常是讽刺性）的评论，表现出只有在空集中命题才正确的那种内在幽默。这些通常只有数学家才能欣赏。当然，他并不认为数学是神圣不可侵犯的。我记得在洛斯阿拉莫斯的一次关于物理问题的讨论，其中数学论证使用了遍历变换（ergodic transformations）和不动点（fixed point）的存在。他突然笑着说：“现代数学终究可以应用！我们不清楚它是先验的，对吧，但它可能会是……”
他在科学之外的主要兴趣是研究历史，他对古代历史的了解令人难以置信地详细。例如，他能记住吉本（Edward Gibbon）的《罗马帝国衰亡史》（The History of the Decline and Fall of the Roman Empire）中的所有轶事，并喜欢在晚饭后参与历史讨论。在一次南下去杜克大学参加美国数学学会（American Mathematical Society，AMS）的会议的旅行中，途径南北战争的战场附近，他对战斗里最细枝末节的故事的熟悉程度让我们感到震惊。这种百科全书式的知识通过某种“解析延拓”，塑造了他对未来事件进程的看法。我可以作证，在对导致第二次世界大战的政治事件和战争期间军事事件的预测中，他的大多数猜测都出奇的正确。然而在大战结束后，他认为极有可能会立即发生灾难，幸运的是，他的担忧被证明是错误的。也许有一种倾向，他对历史事件采取过于纯粹的理性观点，而这种倾向可能是由于过度形式化的博弈论方法造成的。
在其他成就中，约翰尼还是一位出色的语言学家。他非常清楚地记得他在学校学习的拉丁语和希腊语。除英语外，他还能说流利的德语和法语。他在美国的演讲以其文学性而闻名（只有个别他的朋友们喜闻乐见的标志性错误发音，例如“integhers”；译者注：整数应为“integers”）。在他频繁来往于洛斯阿拉莫斯和圣达菲（新墨西哥州）期间，他对西班牙语的了解不太完美，在墨西哥旅行中，他试图通过使用“新-卡斯蒂利亚语”来表达自己的意思，这是他自己创造的语言——把英语单词带上“el”前缀和适当的西班牙语结尾。
战前，约翰尼会在欧洲度过暑假并做一些讲座（1935年在剑桥大学，1936年在巴黎的亨利·庞加莱研究所）。他经常提到，由于紧张的政治气氛，他发现在那里做科学工作几乎是不可能的。而战后，他只在迫不得已的情况下才出国旅行。
自从来到美国，他就对这里的机会表示赞赏，并对这里的科学工作的未来寄予厚望。
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冯·诺伊曼的伟大成就
正是在这个时期，他也开始了自己在量子理论方面的代表性工作，即关于量子力学中的测量以及新统计力学的数学基础。他对希尔伯特空间上的算子的深入研究也可以追溯到这一时期。他的研究远远超出了物理理论的直接需求，例如他开创了具有独立数学意义的算子环（译者注：即冯·诺伊曼代数）的详细研究；关于连续几何的研究也是在这个时期开始的。
冯·诺伊曼对其他数学家获得的结果及其蕴含的潜力的认识是惊人的。在其早期的工作中，博雷尔（Émile Borel）关于极大极小性质的论文启发冯·诺伊曼写出论文《社交游戏理论》（Zur Theorie der Gesellschaft-Spiele）2[17]，这些想法后来在他最具原创性的杰作之一——博弈论中达到顶峰。库普曼（Bernard Koopman）关于通过函数空间上的算子处理经典力学问题的可能性的想法，启发他给出数学上遍历定理的第一个严格证明。哈尔（Alfréd Haar）对群中测度的建构，为他巧妙地部分解决希尔伯特第五问题提供了灵感，他证明了在紧群中引入解析参数的可能性。
在20世纪30年代中期，约翰尼对流体动力学（hydrodynamics）中的湍流问题着迷，他意识到了非线性偏微分方程背后的奥秘。从第二次世界大战开始，他的工作就涉及对流体动力学方程和冲击理论的研究。这些非线性方程所描述的现象无法解析求解，甚至目前的方法连定性理解都不可能。在他看来，数值计算似乎是理解这类系统行为最有希望的方法。这促使他从一开始就研究了在“电子机器”上进行计算的新可能性。他开始研究计算理论，并着手自动机（automata）理论的工作，此理论至今仍在发展。正是在这些研究中，他对神经系统的工作原理和生物体的系统化特性产生了浓厚兴趣，并为此付出了许多精力。
这趟穿越数学科学众多领域的旅程并不是躁动不安的结果。这既不是对新颖性的追求，也不是对将一小部分通用方法应用于许多不同特殊情况的愿望。与理论物理不同，数学并不局限于几个核心问题。冯·诺伊曼认为，对统一的追求，如果建立在纯粹的形式基础上，那注定要失败。这种广泛的好奇心以一些元数学（metamathematical）动机为基础，并受到物理现实世界的强烈影响——那些物理现象可能在未来很长一段时间内都无法形式化。（编者注：可参见《杨振宁点评物理学的公理化》。）
数学家在开始创造性的工作时，经常面临两种相互矛盾的动机：第一种是为现有的大厦添砖加瓦——人们可以通过解决已有问题而迅速获得认可；第二种是开辟新道路的愿望，融合已有认知从而创造出新的领域。后一种做法是一项风险更大的事业，对其价值或成功与否的最终判断只会在未来出现。在早期的工作中，约翰尼选择的是第一种。而到了晚年，他对自己感到足够自信，这才自由地但也是煞费苦心地创建一门可能的新数学学科——自动机和生物体的组合理论。（编者注：可参见《图灵和冯·诺伊曼的遗产：生命计算机的架构》）但疾病和早逝让他只开了一个头。
在他对（数学）适用性的不断探索，以及对于所有精准科学寻求一般数学的本能中，他会让人想到欧拉、庞加莱，或者是更近代的，也许是赫尔曼·外尔。人们应该记住，当代问题的多样性和复杂性大大超过了前两人所面临的情况。约翰尼在他最后的一篇文章遗憾地指出，现在可能没有任何一个大脑能学会纯数学领域三分之一以上的知识。
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早期工作：集合论与代数
另一部青少年时期的作品是关于一致稠密数列的论文（用匈牙利语写作，而摘要是德语），文章证明了将一个稠密列重新排序可以得到一个一致稠密的序列。这项工作还没有显露其数学构想未来会有的深度，也不存在技术上的困难，但是该论文主题的选择和证明中技巧的简洁性预示着，他未来的研究将包含集合论直觉与代数技巧的结合。
一大批年轻数学家对集合论的重视，是那个时代的显著特点。乔治·康托尔（George Cantor）的伟大思想通过伟大的法国人贝尔（René-Louis Baire）、博雷尔、勒贝格（Henri Lebesgue）和其他人的工作，最终在实变函数理论、拓扑学和后来的分析学中得到了体现。在世纪之交，这些内容还不是年轻数学家基本直觉的一部分。而在第一次世界大战结束后，人们注意到这些思想对新一代数学家来说，算是成为本能了。
关于超限序数的论文[2]3已经展示了冯·诺伊曼用代数处理集合论的独特方式和风格。文章第一句话就坦率地说：“这项工作的目的是具体而准确地阐述康托尔的序数的概念。”正如其序言所述，康托尔本人此前有些模糊的表述可被策梅洛公理系统中给出的定义所取代。此外，他还概述了通过超限归纳进行定义的严格基础。论文引言强调了严格的形式主义方法，冯·诺伊曼甚至有些自豪地指出，符号….【用于表示等等（et cetera）】和类似的表达此前从未有过。这种对序数的处理方式——后来库拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski）也考虑过——是至今介绍这一思想的最好方式，对抽象集合论中的“构造”非常重要。依照冯·诺伊曼的定义，每个序数都是所有比其小的序数的集合，这就使序数的理论变得非常优雅，并且可以避免序型（ordertype）的概念，而序型在某种程度上是模糊的，因为公理集合论中与某给定序同构的所有序集并不构成一个集合（并不存在）。
关于理想代数数的普吕弗理论（Priifer's theory）的论文[5]4暗示了他未来研究兴趣的广度。此文涉及集合论问题以及相对素理想分支的枚举问题。普吕弗（Heinz Prüfer）将理想数作为“无限生成的同余关系的理想解”引入。冯·诺伊曼在这篇文章中所用的技术，类似于库尔沙克（Kürschak）和鲍尔（Mihály Bauer）关于亨塞尔p-进数（Hensel's p-adic numbers）的工作。在这里，他再次展示了将有穷代数上的构造推广到无穷领域（无穷可数与连续统情形）这一方法的有效性——这在接下来几十年里的数学研究中变得非常普遍。另一个表明他对代数感兴趣的迹象是一篇关于闵可夫斯基线性泛函理论的简短注释[39]5。
冯·诺伊曼早期的大部分工作都能表现出他的公理化愿景，从某种意义上说，他的想法比20世纪初逻辑学家最初设想的更形式化、更精确。从1925年到1929年左右，冯·诺伊曼的大多数论文都试图传播公理化精神，甚至对于物理理论也是如此。他不满足于现有的表述，即使是集合论本身，他在关于集合论公理化的论文[3]6的第一句话再次坦率地指出7：“本工作的目的是对集合论进行逻辑上无可争议的公理化处理”；下一句话是这样写道：“我首先讲一些公理化的困难，而这将使本文变得有价值。”
这篇1925年论文的最后一句话最有趣。冯·诺伊曼指出了任何公理系统形式化的局限性。这里也许是对哥德尔（Kurt Gödel）关于形式系统中存在不可判定命题的一个模糊预测。最后一句话是：“就目前而言，我们能做的莫过于声明这里存在对集合论本身的反对意见，而且现在还没有办法避免这些困难。【也许在这里我们会想到一个完全不同的科学领域的类似说法：泡利（Wolfgang Pauli）在《物理学手册》（Handbuch der Physik；译者注：介绍理论和实验物理学的“百科全书”，有数十卷）的文章中对相对论性量子理论现状的评价，无穷大和发散在场论中仍然起着神秘的作用。】
他在该主题上的第二篇论文[18]8的标题是“集合论的公理化”（Die Axiomatisierung der Mengenlehre，这篇论文在1925年的标题是“集合论的一种公理化”）。
公理系统的简洁性令人惊讶，一阶和二阶对象的引入，分别对应于朴素集合论中的集合和集合的性质；这些公理打印下来只需要一页多一点，却足以建立几乎所有的朴素集合论，并由此建立所有的现代数学。直到今天，这都是集合论数学的最佳基础之一。哥德尔在其关于选择公理的独立性和连续统假设的伟大工作中，使用了一个受这种方法启发的系统。值得注意的是，在冯·诺伊曼关于集合论公理化的第一篇论文中，他明确地认识到数学家为了避免布拉利-福尔蒂悖论（Burali-Forti's paradox）、理查德悖论（Richard's paradox）和罗素悖论（Russell's paradox）而采取的两个根本不同的方向。由罗素（Bertrand Russell）、科尼格（Julius König）、布劳威尔（L. E. J. Brouwer）和外尔组成的小组采取了更激进的观点，即精确科学的整个逻辑基础必须受到限制，以防止出现上述类型的悖论。冯·诺伊曼说：“对他们工作的总体印象几乎是令人崩溃的。”他反对罗素将整个数学的基础建立在可疑的还原公理上（axiom of reducibility）；对于外尔和布劳威尔拒绝接受他所认为的数学和集合论的大部分更有意义的内容，他也表示反对。
他更为理解第二个不那么激进的团体，其中有策梅洛（Ernst Zermelo）、弗兰克尔（Abraham Fraenkel）和舍恩弗利斯（Arthur Moritz Schoenflies）。冯·诺伊曼知道他们（也包括他自己）的工作还远未完成，他也明确指出了这些公理看起来似乎有些随意。他说，他们的公理化不能证明此形式系统不能推出矛盾，但即使朴素集合论在此意义上不能被完全严肃对待，至少它所包含的大部分内容可以重述为形式系统中的证明，且这些“形式化”内容可以被明确定义。
冯·诺伊曼给出了集合论基础的第一个有限公理化，这些公理如同初等几何的公理那样具有简单的逻辑结构。公理系统的简洁性和推理所采用的形式特征似乎实现了希尔伯特的目标：将数学作为一个有限的游戏。从这里我们可以看出冯·诺伊曼未来对计算机和证明的“机械化”感兴趣的根源。
从这些公理开始，推导集合论的大多数重要概念时，其代数运算的效率是惊人的；这种处理方式的经济性似乎表明，本质上的简洁更能引起人们的关注，而不是为了简洁而追求技巧。这为用“机器”或“自动机”的概念来研究有穷形式系统的局限性提供了基础9。
令我感到奇怪的是，在许多关于集合论和相关领域话题的数学讨论中，冯·诺伊曼的思考似乎也是形式化的。大多数数学家在讨论这些领域的问题时，脑袋中似乎都有一个直观的框架——基于几何或者能表示抽象集合的图示、箭头之类的。而冯·诺伊曼给人的感觉是，他是通过纯粹的形式演绎按顺序推演来思考的。我想说的是，他的直觉基础——就像其他更“直接”的直觉（译者注：意思是本能的直觉）——可以产生新的定理和证明，他的这种直觉类型似乎非常罕见。如果按照庞加莱的说法，把数学家分成两类——视觉直觉和听觉直觉，约翰尼可能属于后者。而在他身上，“听觉直觉”可能非常抽象。更确切地说，这涉及形式语言的证明游戏以及这些符号的数学解释之间的联系和转化。这两者有点像用代数符号记录的棋盘走法和在脑海中描绘真实的棋盘之间的区别。
在最近的一些关于数学基础现状的讨论中，冯·诺伊曼似乎在暗示，在他看来，故事还远没有讲完。哥德尔的发现使得我们应该用一种新方法来理解数学中形式主义的作用，而不是就此终结这一话题。
他的论文[16]10给出[2]中非正式讨论的严格公理化处理。该论文的第一部分介绍了集合论中的基本运算，等价、同构（similarity）、良序等理论的基础，最后在对序数处理的基础上，证明了有限或超限归纳定义的可能性。冯·诺伊曼在论文引言的最后正确地指出，在以前集合论的任何公理或非公理系统中都没有严格地介绍过超限归纳法。
也许冯·诺伊曼关于集合论公理的论文中最有趣的是[23]11。文章探讨了满足某一性质的所有集合能构成一个新的集合的充要条件。此条件是，不存在所有集合的类到满足该性质的集合的类的一个单射。此集合的存在性原则被冯·诺伊曼用作为公理12，而其他系统中假设的一些公理，特别是选择公理，都可由它推导得到。现在我们也证明了反之亦然，即这些其他公理也可以推导出这一冯·诺伊曼公理。因此，如果通常的公理是一致的，那么该公理也是一致的。
他在《数学杂志》（Mathematische Zeitschrift）上的伟大论文[12]13《关于希尔伯特的证明论》（Zur Hilbertschen Beweistheorie）专门研究了数学中避免矛盾的问题。这项经典研究阐述了一般数学的形式主义背后的原始思想。原文强调由希尔伯特发起并发展、伯内斯（Paul Bernays）和阿克曼（Wilhelm Ackermann）等人也参与过的这个复杂问题，尚未得到令人满意的解决。特别是，冯·诺伊曼指出阿克曼关于一致性的证明不能用于经典分析，我们只能用严格的有穷方法证明其某个子系统的一致性。事实上，冯·诺伊曼证明了（尽管他没有明确陈述这一点），关于有限（即可判定）关系的量词和命题连词的逻辑理论是一致的。这与希尔伯特的原始计划，即完全使用严格有限的方法，所能获得的极限相去不远。但冯·诺伊曼当时推测，全部分析的一致性都可以用同样方法证明。目前，人们始终会有这样一种印象，即希尔伯特及其学派的工作所阐发的思想，以如此精确的方式发展，随后再由哥德尔彻底革新，但尚未终结。也许我们正处于另一个伟大的进程之中：对集合论“朴素”地处理，以及源自我们对无限性的直觉而做出的元数学形式化的尝试，正在转向未来的“超集合论”。数学史上并不少见的是，顶尖数学家对现有科学问题的直觉，或者更确切地说，一种共有的模糊感受，之后都被形式地纳入进一个涉及原有系统本质的“超级系统”。
冯·诺伊曼对数学基础问题的兴趣一直持续到生命的最后一刻。在上述一系列论文诞生25年后，人们可以从他构建的有关计算机逻辑中发现那些工作的印记。
冯·诺伊曼在研究数学基础的同时，也在集合论本身以及由集合论中的问题所驱动的实变量理论和代数理论方面取得了独特的进展。例如，冯·诺伊曼构造了一个与连续统等势的实数子集，使其内任何有限个元素都是代数无关的。而该证明没有用到选择公理。在同年发表在《数学基础》（Fundamenta Mathematicae）上的一篇论文[14]14中，他给出将区间分解为可数个不相交且同余的子集的方法（译者注：实数集的两个子集是同余的当且仅当其中一个子集通过平移和对称操作可得到另一个子集）。该方法解决了斯坦豪斯（Hugo Steinhaus）的一个问题——需要一种特殊的构造才能在区间上进行这样的分解。而豪斯多夫（Felix Hausdorff）对圆的相应分解则要容易得多。（这是因为圆周是一个群流形。）
在关于一般测度理论的论文[28]15中，冯·诺伊曼解决了群的子集的有限可加测度问题。他将豪斯多夫的球面分解悖论，以及巴拿赫（Stefan Banach）和塔斯基（Alfred Tarski）对三维球体所做的绝妙分解的相关理论，从欧几里得空间推广到一般的非阿贝尔群（编者注：参见《数学家的魔术：一物生二物》）；巴拿赫关于存在平面所有子集的可加测度的肯定结果则被推广到一般交换群的子集。约翰尼最后的结论是，所有可解群都是“可测的”（即可以在其中引入这样的测度）。
该文将集合论中有关欧几里得空间的结论推广到了更一搬的拓扑和代数结构中，这是类似的问题和方法最初的实例之一，此后这种趋势愈发显著。两个集合的“同余”被更广义地理解为在某给定变换群作用下的等价性；测度则是广义的可加函数。同样，这个问题的表述预示着哈尔的工作以及对豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基悖论分解的研究16。
在1928年的“奇迹年”，冯·诺伊曼同时写出了关于博弈论的文章。这是他在这个后来成为组合领域内重要方向所写的第一部作品，博弈论目前正在蓬勃发展，有非常多的应用。很难相信，从1927年开始，在完成上述工作的同时，他还能发表大量关于量子理论的数学基础、量子统计理论中的概率问题的论文，在连续群表示方面也得到了重要结果！
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实变函数理论、测度论、拓扑、连续群
论文[35]17解决了哈尔提出的一个问题，关于函数类的代表元的选取，考虑有限系统的幂的乘积，以及定义在其上的线性流形；假如线性流形上的两个函数在一个零测集以外都相等，则定义它们等价。这个问题被推广到勒贝格测度以外的测度，一个类似的问题得到了明确的解决。
论文[45]18证明了测度论中的一个重要结论：（两个测度空间中的）两个可测集合类之间任意保测度的布尔映射（Boolean mapping）由一个保测度的点变换生成。这个结论对于证明更一般的完备可分测度空间等价于具有勒贝格测度的欧氏空间非常重要，这样我们就能把所有可测集构成的布尔代数简化为通常的勒贝格测度来研究。
在论文[51]19中，冯·诺伊曼证明了由哈尔构造的哈尔测度的唯一性（参考 Ann. of Math. vol. 34, pp. 147-169），这种测度要求（勒贝格型）测度在群的左乘或右乘下保持不变。对于紧群而言，哈尔测度的唯一性在那时已经得到了证明。冯·诺伊曼在他的证明中引入了一种不同于哈尔的构造。这篇文章早于可分拓扑群上的概周期函数（almost periodic functions）的一般理论的构造，并与其正交表示论相兼容。
在论文[54]20中，冯·诺伊曼将以往只为度量空间定义的完备性概念推广到线性拓扑空间，同时得到了不是度量空间却是完备空间的有趣例子。当然，这种情况涉及到不可分空间。该论文还包含伪度量（pseudo-metric）和凸空间的新颖构造。
在与约尔当（Pascual Jordan）合作的一篇论文[59]21中，他们解决了由弗雷歇（René Maurice Fréchet）提出的线性度量空间中广义希尔伯特空间的表征问题。这篇文章加强了弗雷歇结果并得到一个充要条件：一个线性度量空间L同构于希尔伯特空间，当且仅当每个2维线性子空间都同构于欧氏空间。
论文[35]中的结果在一篇与马歇尔·斯通（Marshall Harvey Stone）合作的文章[60]22中得到推广。论文[35]处理了如下问题：从一个抽象环模去一个给定的双边理想后，如何从剩余类中选取代表元。此论文包含了一系列有关布尔环模去一个理想后的表示论的结果。
在俄国杂志“Sbornik”的论文[64]23中，冯·诺伊曼再次研究了哈尔测度的唯一性问题。先前的唯一性证明是通过不同于哈尔构造的方法完成的，这种构造不包含任意的元素，而且自动地导出了测度的唯一性。而这篇文章给出了适用于局部紧可分群的双不变外测度的唯一性的独立方法。【同一时期，韦伊（André Wei）给出了一个不同的证明。】
在与库拉托夫斯基合作的论文[69]24中，对于由超限归纳法定义的某些实数集合的投影性，他们获得一些精确而有力的结果。著名的勒贝格集25，以前被库拉托夫斯基证明是属于第三投射类 （projective class 3），现在它被证明是两个解析集的差集，因此属于第二投射类。他们借助于某些更普适的构造，得到了关于集合解析特征（Hausdorff 意义下）的更一般的定理。这一结果对于目前尚不完善的射影集合理论似乎具有重要的意义。
发表在 Compositio Mathematica 上的综述性论文《关于无穷直积》（On infinite direct products）[75]26，包括了算子的代数理论以及此系统的测度理论，这在现代抽象分析中非常重要。冯·诺伊曼总结了以前一些关于泛函算子的代数、算子环的拓扑，包括不可分超希尔伯特空间（non-separable hyper-Hilbert spaces）的工作。从方法论角度以及实际构造来说，这篇论文包含了当时代数研究的开拓性内容，同时也是一篇优秀的介绍性文章。从向量空间开始，文章最先处理它们的乘积，然后是这些结构上的线性算子，最后处理这些算子的类，再次从“第一层次”开始考察这些算子作为向量空间的代数性质。冯·诺伊曼打算将这个精巧的系统与量子理论中的超量子化（hyperquantization）作类比，并特别将此论文看作关于非可数乘积的数学准备。
论文[24]27研究了希尔伯特第五问题衍生出的一系列问题：对连续群进行参数变换是否可能使群运算变得解析。在我看来，这篇论文是该领域取得的第一个重要成果。它处理了n维空间的线性变换群的子群，并得到肯定的结果：每个这样的连续群都有一个正规子群，局部存在解析的参数表示，并且这样的参数表述与有限个参数一一对应。
这些定理第一次表明群性质阻止了一元实变量函数理论中常见的“病态”（pathological）可能性。此论文通过将元素表示为指数算子的乘积，详细地揭示了这些群的结构，其结果后来被嘉当（Élie Cartan）推广到一般李群的子群，并作了简化。这些结果表明，对于一个线性流形，如果它满足以下性质：若它包含矩阵U,V，则其同时也包含交换子UV-VU，这样的线性流形是整个群G的一个无穷小群。这篇论文非常重要，因为它早于嘉当，而晚于阿多（Igor Dmitrievich Ado）。当然，冯·诺伊曼自己的论文[48]28解决了紧群的希尔伯特第五问题。
这个漂亮的结果基于哈尔的论文（发表于同一期），哈尔在连续群中引入了不变测度函数。冯·诺伊曼由此受到启发，采用了类似于群上的Peter-Weyl积分，并使用关于积分算子的有限个特征函数的线性组合来逼近函数的定理（这是施密特博士论文提出的），以及巧妙运用n维欧氏空间中区域不变性的布劳威尔定理，最终证明了紧致n维拓扑群连续同构于有限维空间的酉矩阵构成的闭群。
此论文的方法允许我们把更一般的群（不一定是n维的）表示为这种n维群的无限乘积的子群。在论文的第二部分给出了一个例子：由作用在欧氏空间上的变换构成的一个有限维非紧群，无论如何改变参数，都不能使这些变换成为解析的。这比希尔伯特第五问题的完全解决，包括蒙哥马利（Deane Montgomery）与格里森（Andrew Gleason）在“开”的（即非紧的）n维群情形的工作，要早几乎20年。冯·诺伊曼能获得这些成就，需要同时具备集合论、实变量技术的深刻知识，对布劳威尔拓扑思想的直觉，以及对积分方程技巧和矩阵演算的真正理解。
在与约尔当和维格纳（Eugene Wigner）合作的论文中[50]29，我们可以发现冯·诺伊曼将抽象的代数思想与解析技巧两者绝妙地结合起来，这是一篇关于量子力学形式化的代数推广的论文，被认为可能是量子力学理论未来推广的起点，并处理交换但不结合的超复代数（hypercomplex algebras）。基本结果是，所有这些形式上实有限的，可交换的r-数系只是矩阵代数，只有一个例外。然而，这个例外对于量子理论所需的推广来说似乎太狭窄了。
在提交给《美国数学学会公报》的一个未正式发表的摘要中（附录2[14]30），冯·诺伊曼提出了包含了关于3维球面的所有同胚构成的群的单位分支的单性定理。实际定理是：任意给定两个（均不为恒等映射的）同胚A, B，存在A的有限个数（23已经足够了）的共轭使得它们的乘积等于B。
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希尔伯特空间、算子理论与算子环
1954年，冯·诺伊曼在美国国家科学院（National Academy of Sciences）的一份调查问卷中表示，他认为这项工作位列他自己最重要的三项数学贡献之一。仅就篇幅而言，这些主题的论文约占他出版著作的三分之一。其中包含对线性算子性质非常详细的分析，以及对无穷维空间的算子类（算子环）的代数研究。这些成果实现了他在《量子力学的数学基础》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik）一书中宣称的目的，即证明了最早由希尔伯特提出的数学思想能够为量子物理奠定充分的基础，没有必要为这一物理理论引入新的数学体系。
冯·诺伊曼对酉空间线性性质的分类详细得令人难以置信，解决了许多有关无界算子的问题。它给出了完整的超极大变换（hypermaximal transformations）理论，使希尔伯特空间几乎与有限维欧几里得空间一样，完全在数学家的掌握之中。
在整个学术生涯中，冯·诺伊曼对这一主题始终保持着兴趣。甚至直到最后，在从事其他研究工作的同时，他还得到并发表了关于算子性质和谱理论的结果。论文[106]31发表于1950年，是为了祝贺施密特75岁生日而写的（是施密特带领他认识到了这一主题的魅力）。至少在酉的情形及其线性变换中，探索非紧致性的奥秘方面，没有人比冯·诺伊曼做得更多。在今后很长一段时间内，这个方向的工作将以他的结果为基础。这项工作现在正由他的合作者和以前的学生（特别是默里）以及其他人大力推进，我们完全可以期待他们会对线性算子性质提出更有价值的见解。
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格理论与连续几何
大约在1935年，伯克霍夫从戴德金（Richard Dedekind）的原始表述中发展和推广了格理论。大约同一时期，马歇尔·斯通系统地阐述了布尔代数在代数理论和集合论方面的性质。我记得在1935年夏天，伯克霍夫、斯通和冯·诺伊曼从一个莫斯科数学会议回来的路上，在华沙停留，并在华沙数学学会的一次会议上，做了关于这些领域新进展的简单演讲，还包括量子理论逻辑的新表述。这之后的讨论使人们对用一般布尔代数和格论的语言来描述量子理论所具有的潜在应用产生了期待。后来冯·诺伊曼曾多次回到这些尝试当中，但他在这个方向上的大部分想法只记录在未发表的笔记里32。
他对连续几何和无点几何（geometries without points）的研究基于这样一种信念，即量子理论的原始概念与此类对象有关; 显然，“物理的论域”（universe of discourse）则由希尔伯特空间中等同的点构成的若干类或线性流形组成。（狄拉克在他的书中明确指出了这一点。）
这些相关工作有些在专题讨论会中得到了介绍，其内容载于普林斯顿研究院讲义（Princeton Institute Lectures）；有些以手稿的形式保存下来。在与冯·诺伊曼讨论这些问题时，我的印象是，大约从1938年开始，他觉得核物理中的现有问题与新发现产生了完全不同类型的新问题，而坚持用数学上完美无缺的体系来阐述量子理论变得不那么重要了。战争结束后，他表达了一些类似于爱因斯坦的观点，认为核物理和基本粒子物理的丰富程度令人困惑，因此任何建立一般量子场论的尝试都为时过早，至少那时是这样。（未完待续）
注释
1. 这一信息是费尔纳在一封回忆约翰尼早期学习情况的信中传达的。2. [17]Zur Theorie der Gesellschaftsspiele, Math. Ann. vol. 100 (1928) pp. 295-320. 3. [2]Zur Einfiihrung der transfiniten Ordnungszahlen, Acta Univ. Szeged vol.1 (1923) pp. 199-208. 4. [5]Zur Priiferschen Theorie der idealen Zahlen, Acta Univ. Szeged vol. 2 (1926) pp. 193-227. 5. [39]Zum Beweise des Minkowskischen Satzes über Linearformen, Math. Zeit. vol. 30 (1932) pp. 1-2. 6. [3]Eine Axiomatisierung der Mengenlehre, J. Reine Angew. Math. vol. 154 (1925) pp. 219-240. 7. 关于此文，耶路撒冷希伯来大学的Fraenkel教授给我写了以下内容：“大约在1922年-1923年，我当时是马尔堡大学的教授，我从柏林的埃哈德.施密特教授（代表Mathematicische Zeitschrift的编辑部）那里收到了一份陌生作者的很长的手稿，署名是Johann von Neumann，标题为Die Axiomatisierung der Mengenlehre，这是他最终的博士论文，但直到1928年才发表于《数学杂志》（Mathematische Zeitschrift，第27卷）。我被征求意见，因为文章似乎难以理解。我并不认为自己什么都了解，但足以看出这是一部杰作，我认出了“狮子的爪子”（ex ungue leonem）。而要回答这些问题，我邀请这位年轻的学者到马尔堡访问，和他一起讨论，并强烈建议他准备一篇非正式的论文来解释这篇技术性很强的文章，强调解决问题的新途径及其基本结果。为此他写了一篇题为《门格勒的公理》（Eine Axiomatisierung der Mengenlehre）的文章，之后我于1925年在《纯数学与应用数学杂志》（Journal für die reine und angewandte Mathematik，154卷）上发表了它，当时我是该杂志的副主编。” 8. [18]Die Axiomatisierung der Mengenlehre, Math. Zeit. vol. 27 (1928) pp.669-752. 9. 当然，这正是莱布尼茨的想法。10. [16]Über die Definition durch trans finite Induktion, und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre, Math. Ann. vol. 99 (1928) pp. 373-391. 11. [23]Über eine Widerspruchfreiheitsfrage der axiomatischen Mengenlehre, J. Reine Angew. Math. vol. 160 (1929) pp. 227-241. 12. 哥德尔说:“这个公理的有趣的地方在于它是一个极大性原则，有些类似于几何中的希尔伯特完备性公理。粗略地讲，它是说任何集合，只要不以一种明确定义的方式导致矛盾，它就存在。作为一个极大原则，它也解释了这样一个事实，即这个公理蕴含选择公理。我认为抽象集合论的基本问题，如康托尔的连续统问题，只有在此类更强公理的帮助下才能得到令人满意的解决。这类公理在某种意义上是与数学的构造主义解释相反或互补的。” 13. [12]Zur Hilbertschen Beweistheorie, Math. Zeit. vol. 26 (1927) pp. 1-46. 14. [14]Zerlegung des Intervalles in abzâhlbar viele kongruente Teilmengen, Fund. Math. vol. 11 (1928) pp. 230-238.15. [28]Zur allgemeinen Theorie des Masses, Fund. Math. vol. 13 (1929) pp. 73-116. 16. 最近由R. M. Robinson推向最极端的最小形式 。17. [35]Algebraische Reprasentanten der Funktionen “bis auf eine Menge vom Uaasse Null,” J. Reine Angew. Math. vol. 161 (1931) pp. 109-115. 18. [45]Einige Sâtze uber messbare Abbildungen, Ann. of Math. vol. 33 (1932) pp. 574-586. 19. [51]Zum Haarschen Maass in topologischen Gruppen, Compositio Math. vol. 1 (1934) pp. 106-114. 20. [54]On complete topological spaces, Trans. Amer. Math. Soc. vol. 37 (1935) pp. 1-20. 21. [59]On inner products in linear, metric spaces. With P. Jordan. Ann. of Math, vol. 36 (1935) pp. 719-723. 22. [60]The determination of representative elements in the residual classes of a Boolean algebra. With M. H. Stone. Fund. Math. vol. 25 (1935) pp.353-378. 23. [64]The uniqueness of Haar's measure, Rec. Math (Mat. Sbornik) N. S. vol.1 (1936) pp. 721-734. 24. [69]On some analytic sets defined by transfinite induction. With C. Kuratowski. Ann. of Math. vol. 38 (1937) pp. 521-525. 25. Journal de Mathématiques, 1905, Chapter VIII. 26. [75]On infinite direct products, Compositio Math. vol. 6 (1938) pp. 1-77. 27. [24]Über die analytischen Eigenschaften von Gruppen linearer Transformationen und ihrer Darstellungen, Math. Zeit. vol. 30 (1929) pp. 3-42. 28. [48]Die Einfiihrung analytischer Parameter in topologischen Gruppen, Ann. of Math. vol. 34 (1933) pp. 170-190. 29. [50]On an algebraic generalization of the quantum mechanical formalism. With P. Jordan and E. Wigner. Ann. of Math. vol. 35 (1934) pp. 29-64. 30. [14]Zerlegung des Intervalles in abzâhlbar viele kongruente Teilmengen, Fund. Math. vol. 11 (1928) pp. 230-238. 31. [106]Zur Algebra der Funktionaloperatoren und Theorie der normalen Operatoren, Math. Ann. vol. 102 (1929) pp. 370-427.
32. 吉文斯教授（Wallace Givens）正在准备一份讲义，不久将由普林斯顿出版社出版。另一篇写于1935年的关于连续几何的论文发表在《数学年鉴》（Annals of Mathematics）。
本文基于知识创作共享许可协议（CC BY-NC 4.0），译自S. Ulam, John von Neumann 1903-1957, Bull. Amer. Math. Soc. 64 (1958), 1-49，原文链接：
https://www.ams.org/journals/bull/1958-64-03/S0002-9904-1958-10189-5/S0002-9904-1958-10189-5.pdf
出品：科普中国
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